Die Dizzle-Matrix
Dizzle ist ein lustiges Würfelspiel von Ralf zur Linde.
Aus strategischer Sicht tritt dort ein interessantes mathematisches Problem auf. Man steht ständig vor der Entscheidung:
Soll ich mit n Würfeln würfeln und versuchen dabei mindestens eine von k Zahlen zu erhalten. Bspw. brauche ich eine 4 oder eine 6 und habe 3 Würfel zur Verfügung.
Wie groß ist meine Chance?
Und weil das irgendwie nicht intuitiv ist, präsentiere ich euch die Dizzle-Matrix
\[\begin{pmatrix}\frac{1}{6} & \frac{11}{36} & \frac{91}{216} & \frac{671}{1296} \\ \frac{1}{3} & \frac{5}{9} & \frac{19}{27} & \frac{65}{81}\\ \frac{1}{2} & \frac{3}{4} & \frac{7}{8} & \frac{15}{16}\\ \frac{2}{3} & \frac{8}{9} & \frac{26}{27} & \frac{80}{81} \end{pmatrix}\]Dabei stehen die Zeilen für die Anzahl Zahlen, die einem etwas nützen und die Spalten für die Anzahl Würfel.
Braucht man also eine 4 oder eine 6 und hat 3 Würfel, so hat man mit $19/27 = 0.7…$ eine solide 70% Chance.
Die Zeile für 5 Würfel oder 5 Zahlen habe ich weggelassen. Die sind immer eine solide Wahl.
Wie berechnet man diese Zahlen?
Dazu nutzt man die Methode der Gegenwahrscheinlichkeit und berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Ergebnis nicht eintritt.
Im Beispiel mit der 4 und der 6 würfele ich also 3 mal und habe Pech, wenn bei jedem Würfel keine 4 oder 6 kommt.
Bei einem Würfel ist das eine $2/3$ Wahrscheinlichkeit und da die Würfel unabhängig sind ist hat das Pech-Ereigniss eine Wahrscheinlichkeit von $(2/3)(2/3)(2/3) = 8/27$. Also ist die Erfolgswahrscheinlichkeit $1 - 8/27 = 19/27$.
Die Methode der Gegenwahrscheinlichkeit vereinfacht die Analyse, weil man so eine schöne Unabhängigkeit hat. Würde man die 19/27 direkt berechnen wollen, gilt es es verschieden Fälle zu betrachten, nämlich, dass genau eine gewünschte Zahl gewürfelt wird, oder zwei, usw.
Ach so und wer wie ich nicht so gerne Bruchrechnung mag, hat hier nochmal die Matrix komplett auf den Hauptnenner 1296 gebracht. ✌️
\[\begin{pmatrix}216 & 396 & 546 & 671 \\ 432 & 720 & 912 & 1040 \\ 648 & 972 & 1134 & 1215 \\ 864 & 1152 & 1248 & 1280 \end{pmatrix}\]Oder praktischer ist vielleicht direkt in Prozenten? Dann sieht es so aus.
\[\begin{pmatrix}16,7\% & 30,6\% & 42,1\% & 51,8\% \\ 33,3\% & 55,6\% & 70,4\% & 80,2\% \\ 50,0\% & 75,0\% & 87,5\% & 93,8\% \\ 66,7\% & 88,9\% & 96,3\% & 98,8\% \end{pmatrix}\]Zum Schluss noch was für die Zahlenfans unter euch. Diese Dezimalbruchentwicklung rechts unten in der Dizzle-Matrix:
\[\frac{80}{81} = 0.987654321\]😊